台形の（水平方向の）図心

ぱっと検索して見つからなかったので自分のメモがてら。

上記のような台形の場合、その図心（重心）Gは、左下の赤点から

$\displaystyle \begin{align*} G_x &= M_x/A = \frac{a - a_0 + \left( 1 + a_1/a \right) \left( 2 a_0 + a_1 \right)}{3 \left( a + a_1 \right) } a \\ G_y &= M_y/A = \frac{a + 2 a_1}{3 \left( a + a_1 \right) } h \\ \end{align*}$

以下証明というか算出の詳細。

図のように、台形を直角三角形＋長方形＋直角三角形に分割して、それぞれ0,1,2と番号をつける。それぞれの底辺の長さをa0, a1, a2、高さはhとする。

それぞれの図形の面積Aは

$\displaystyle \begin{align*} A_0 &= \frac{1}{2} a_0 h \\ A_1 &= a_1 h \\ A_2 &= \frac{1}{2} a_2 h \end{align*}$

である。また、三角形と長方形単体の図心は、それぞれ底面から1/3と1/2の高さにあるため、赤点からのそれぞれの図心は

$\displaystyle \begin{align*} {G_x}_0 &= \frac{2}{3} a_0 \\ {G_x}_1 &= a_0 + \frac{1}{2} a_1 \\ {G_x}_0 &= a_0 + a_1 + \frac{1}{3} a_2 \\ {G_y}_0 &= \frac{1}{3} h \\ {G_y}_1 &= \frac{1}{2} h \\ {G_y}_2 &= \frac{1}{3} h \end{align*}$

となる。よって、赤点周りの断面一次モーメントは

$\displaystyle \begin{align*} {M_x}_0 &= A_0 \times G_{x0} = \frac{1}{3} {a_0}^2 h \\ {M_x}_1 &= A_1 \times G_{x1} = \frac{1}{2} \left( 2 a_0 + a_1 \right) a_1 h \\ {M_x}_2 &= A_2 \times G_{x2} = \frac{1}{6} \left\{ 3 \left( a_0 + a_1 \right) + a_2 \right\} a_2 h \\ {M_y}_0 &= A_0 \times G_{y0} = \frac{1}{6} a_0 h^2 \\ {M_y}_1 &= A_1 \times G_{y1} = \frac{1}{2} a_1 h^2 \\ {M_y}_2 &= A_2 \times G_{y2} = \frac{1}{6} a_2 h^2 \end{align*}$

以上より、台形の面積および断面一次モーメントは

$\displaystyle \begin{align*} A &= A_0 + A_1 + A_2 = \frac{1}{2} \left( a_0 + 2 a_1 + a_2 \right) h \\ M_x &= {M_x}_0 + {M_x}_1 + {M_x}_2 = \frac{1}{6} \left( 2 {a_0}^2 + 3 {a_1}^2 + {a_2}^2 + 6 a_0 a_1 + 3 a_0 a_2 + 3 a_1 a_2 \right) h \\ M_y &= {M_y}_0 + {M_y}_1 + {M_y}_2 = \frac{1}{6} \left( a0 + 3 a_1 + a_2 \right) h^2 \\ \end{align*}$

複雑で見づらいので、a=a0+a1+a2を代入すると

$\displaystyle \begin{align*} A &= \frac{1}{2} \left( a + a_1 \right) h \\ M_x &= \frac{1}{6} \left\{ a - a_0 + \left( 1 + a_1/a \right) \left( 2 a_0 + a_1 \right) \right\} a h \\ M_y &= \frac{1}{6} \left( a + 2 a_1 \right) h \\ \end{align*}$

よって、重心は

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